Question

（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PB+PC．

下面给出一种证明方法，你可以按这一方法补全证明过程，也可以选择另外的证明方法．

证明：在AP上截取AE=CP，连接BE

∵△ABC是正三角形

∴AB=CB

∵∠1和∠2的同弧圆周角

∴∠1=∠2

∴△ABE≌△CBP

（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PC+ PB．

（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，直接写出结论．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）PA=PC+PB

【解析】

（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE，证明△PCE是等边三角形．利用CE＝PC，∠E＝∠3＝60°，∠EBC＝∠PAC，得到△BEC≌△APC，所以PA＝BE＝PB＋PC；

（2）过点B作BE⊥PB交PA于E，证明ABE≌△CBP，所以PC＝AE，可得PA＝PC＋PB；（3）在AP上截取AQ＝PC，连接BQ可证△ABQ≌△CBP，所以BQ＝BP．又因为∠APB＝30°．所以PQ＝PB，PA＝PQ＋AQ＝PB＋PC.

证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，

连接CE．∵∠1＝∠2＝60°，∠3＝∠4＝60°，

∴∠CPE＝60°，

∴△PCE是等边三角形，

∴CE＝PC，∠E＝∠3＝60°；

又∵∠EBC＝∠PAC，

∴△BEC≌△APC，

∴PA＝BE＝PB＋PC．

（2）过点B作BE⊥PB交PA于E．

∵∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°

∴∠1＝∠3，

又∵∠APB＝45°，

∴BP＝BE，∴；

又∵AB＝BC，

∴△ABE≌△CBP，

∴PC＝AE．

∴．

（3）答：；

证明：在AP上截取AQ＝PC，

连接BQ，∵∠BAP＝∠BCP，AB＝BC，

∴△ABQ≌△CBP，

∴BQ＝BP．

又∵∠APB＝30°，

∴PB

∴PB+PC