Question

如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E，F为DC延长线上一点，且∠CBF=∠CDB．

（1）求证：FB为⊙O的切线；

（2）若AB=8，CE=2，求⊙O的半径．

Answer

（1）见解析；（2）R=5．

【解析】

（1）连接OB，根据圆周角定理证得∠CBD＝90°，然后根据等边对等角以及等量代换，证得∠OBF＝90°即可证得；（2）首先利用垂径定理求得BE的长，根据勾股定理得出方程，即可求得圆的半径．

（1）连接OB．

∵CD是直径，

∴∠CBD＝90°，

又∵OB＝OD，

∴∠OBD＝∠D，

又∠CBF＝∠D，

∴∠CBF＝∠OBD，

∴∠CBF＋∠OBC＝∠OBD＋∠OBC，

∴∠OBF＝∠CBD＝90°，即OB⊥BF，

∴FB是圆的切线；

（2）∵CD是圆的直径，CD⊥AB，

∴BE＝AB＝4，

设圆的半径是R，

在直角△OEB中，根据勾股定理得：R2＝（R﹣2）2＋42，

解得：R＝5．