Question

如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于点E．

求证：（1）DE⊥AE；

（2）AE+CE=AB．

Answer

证明见解析

【解析】

（1）连接OD，根据等腰三角形的性质结合角平分线的性质可得出∠CAD=∠ODA，利用“内错角相等，两直线平行”可得出AE∥OD，结合切线的性质即可证出DE⊥AE；

（2）过点D作DM⊥AB于点M，连接CD、DB，根据角平分线的性质可得出DE=DM，结合AD=AD、∠AED=∠AMD=90°即可证出△DAE≌△DAM（SAS），根据全等三角形的性质可得出AE=AM，由∠EAD=∠MAD可得出，进而可得出CD=BD，结合DE=DM可证出Rt△DEC≌Rt△DMB（HL），根据全等三角形的性质可得出CE=BM，结合AB=AM+BM即可证出AE+CE=AB．

（1）连接OD，如图1所示．

∵OA=OD，AD平分∠BAC，

∴∠OAD=∠ODA，∠CAD=∠OAD，

∴∠CAD=∠ODA，

∴AE∥OD．

∵DE是⊙O的切线，

∴∠ODE=90°，

∴OD⊥DE，

∴DE⊥AE．

（2）过点D作DM⊥AB于点M，连接CD、DB，如图2所示．

∵AD平分∠BAC，DE⊥AE，DM⊥AB，

∴DE=DM．

在△DAE和△DAM中，，

∴△DAE≌△DAM（SAS），

∴AE=AM．

∵∠EAD=∠MAD，

∴ ，

∴CD=BD．

在Rt△DEC和Rt△DMB中，，

∴Rt△DEC≌Rt△DMB（HL），

∴CE=BM，

∴AE+CE=AM+BM=AB．