Question

如图，在中，为直线上任意一点，给出以下判断：

①若点到，距离相等，且，则；②若且，则；③若，则；④若，且，则．其中正确的是________（把所有正确结论序号都填在横线上）

Answer

①②④

【解析】

①如图1，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，通过证明Rt△BDE≌Rt△CDF，得到∠B=∠C，即可得到结论；
②由垂直的定义得到∠ADB=∠ADC=90°，由AD2=BD•DC，得到，证得△ABD∽△ACD，根据相似三角形的性质得到∠BAD=∠C，即可得到结论；
③作AE⊥BC于E，根据勾股定理得到AB2=AE2+BE2，AD2=AE2+DE2，再两式相减即可求解；
④利用等角的余角相等得到∠B=∠DAC，则可判断Rt△ADB∽Rt△CDA，所以AD：CD=BD：AD，然后根据比例的性质即可得到结论．

【解析】
①图1，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵点D到AB，AC距离相等，
∴DE=DF，
在Rt△BDE与Rt△CDF中，，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC； ①正确

②AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵AD2=BD•DC，
∴，
∴△ABD∽△ACD，
∴∠BAD=∠C，
∵∠B+∠BAD=90°，
∴∠C+∠B=90°，
∴∠BAC=90°； ②正确

③如图2，作AE⊥BC于E，则
AB2=AE2+BE2，AD2=AE2+DE2，
则AB2-AD2=（AE2+BE2）-（AE2+DE2）=BE2-DE2=（BE+DE）（BE-DE）=BD•DC，
则AD2+BD•DC=AB2，
∵AB=AC，
∴AD2+BD•DC=AC2；

如图3，作AE⊥BC于E，则
AB2=AE2+BE2，AD2=AE2+DE2，
则AD2-AB2=（AE2+DE2）-（AE2+BE2）=DE2-BE2=（BE+DE）（DE-BE）=BD•DC，
则AD2-BD•DC=AB2，
∵AB=AC，
∴AD2-BD•DC=AC2；故③错误；
④∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠BAD=∠DAC=90°，
∴∠B=∠DAC，
∴Rt△ADB∽Rt△CDA，
∴AD：CD=BD：AD，
∴AD2=CD•BD．④正确
故答案为：①②④．