Question

已知在中，，，点在上，且． 

当点为线段的中点，点、分别在线段、上时（如图）．过点作于点，请探索与之间的数量关系，并说明理由；

当，

①点、分别在线段 、上，如图时，请写出线段、之间的数量关系，并给予证明．

②当点、分别在线段、的延长线上，如图时，请判断①中线段、之间的数量关系是否还存在．（直接写出答案，不用证明）

Answer

（1），理由见解析；①，理由见解析；②成立．

【解析】

（1）过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F，则四边形BFPE是矩形，所以△PFN∽△PEM得出，然后根据余切函数即可求得．
（2）同（1）证得△PFN∽△PEM得出，然后在Rt△AEP和Rt△PFC中通过三角函数求得PF=PC，PE=PA，即可求得．

（1），

理由：如图，作，

∵，

∴，

∴四边形是矩形，

∴

∴的中点，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

在中，，

∴，

即．

，

如图  在中，过点于点

∴四边形是矩形，

∴

∴，

又∵中，

∴

∴

∵  

∴，

即：

②如图，成立．