Question

能够成为直角三角形三边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察下列表格所给出的三个数a，b，c，a<b<c．

（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论．

（2）写出当a=17时，b，c的值．

Answer

（1）见解析；（2）b=144，c=145．

【解析】

（1）根据表格找出规律再证明其成立；（2）把已知数据代入经过证明成立的规律即可.

（1）以上各组数的共同点可以从以下方面

①以上各组数均满足a2＋b2＝c2；

②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；

③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，

如32＝9＝4＋5，52＝25＝12＋13，72＝49＝24＋25，92＝81＝40＋41…

由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论：

设m为大于1的奇数，将m2拆分为两个连续的整数之和，即m2＝n＋（n＋1），

则m，n，n＋1就构成一组简单的勾股数．

证明：∵m2＝n＋（n＋1）（m为大于1的奇数），

∴m2＋n2＝2n＋1＋n2＝（n＋1）2，

∴m，n，（n＋1）是一组勾股数．

（2）运用以上结论，当a＝17时，

∵172＝289＝144＋145，∴b＝144，c＝145．