Question

阅读理【解析】
 

材料1．若一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-，x₁x₂=．

材料2．已知实数m，n满足m²-m-1=0，n²-n-1=0，且m≠n，求的值．

【解析】
由题知m，n是方程x²-x-1=0的两个不相等的实数根，

根据材料1得m+n=1，mn=-1，

∴．

解决问题：

(1)一元二次方程x²-4x-3=0的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=     ，x₁x₂=      ．

(2)已知实数m，n满足2m²-2m-1=0，2n²-2n-1=0，且m≠n，求m²n+mn²的值．   

(3)已知实数p，q满足p²=3p+2，2q²=3q+1，且p≠2q，求p²+4q² 的值．

Answer

（1）4，-3；（2）；（3）

【解析】

（1）直接根据根与系数的关系求解；

（2）利用m、n满足的等式，可把m、n可看作方程2x2-2x-1=0的两实数解，则根据根与系数的关系得到m+n=1，mn=-，接着把m2n+mn2分解得到mn（m+n），然后利用整体代入的方法计算；

（3）先设t=2q，代入2q2=3q+1化简得到t2=3t+2，根据p与t满足的等式可把p与t（即2q）为方程x2-3x-2=0的两实数解，则根据根与系数的关系得到p+2q=3，p•2q=-2，接着利用完全平方公式变形得到p2+4q2=（p+2q）2-2p•2q，然后利用整体代入的方法计算．

（1）x1+x2=﹣，x1x2=﹣；

故答案为﹣ ，﹣；

（2）∵m、n满足2m2﹣2m﹣1=0，2n2﹣2n﹣1=0，

∴m、n可看作方程2x2﹣2x﹣1=0的两实数解，

∴m+n=1，mn=﹣，

∴m2n+mn2=mn（m+n）=﹣×1=﹣；

（3）设t=2q，代入2q2=3q+1化简为t2=3t+2，

则p与t（即2q）为方程x2﹣3x﹣2=0的两实数解，

∴p+2q=3，p•2q=﹣2，

∴p2+4q2=（p+2q）2﹣2p•2q=32﹣2×（﹣2）=13．