Question

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，线段OA，OC的长是一元二次方程x²-12x+36=0的两根，BC=4，∠BAC=45°． 

(1)直接写出点A的坐标________点 C的坐标________；   

(2)若反比例函数y=的图象经过点B，求k的值；   

(3)如图过点B作BD⊥y轴于点D；在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P， O，A为顶点的三角形相似?若存在，直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 

Answer

(1)(-6，0)，(6，0)；(2)k=16；(3)点P的坐标为：(0，2)或(0，6)或(0，12)或(0，4+2)或(0，4-2).

【解析】

（1）首先利用直接开平方法求出方程 x2-12x+36=0的两根，从而得出OA=OC=6，进而得出A、C两点的坐标；

（2）如图，过点B作BE⊥AC，垂足为E， 根据等腰直角三角形的性质得出AE=BE， 设BE=x，EC=12-x， 在RtΔBEC中利用勾股定理建立方程，求解并检验即可得出BE、OE的长从而得出B点的坐标，然后利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；

（3）存在．如图2，若点P在OD上，若△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解即可得出P点的坐标；如图3，若点P在OD上方，△PDB∽△AOP， 根据相似三角形对应边成比例得出，则根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标；如图4，若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标；如图5，若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式列出方程，求解并检验即可得出P点的坐标，综上所述即可得出答案.

（1）解一元二次方程 x2-12x+36=0，

解得：x1=x2=6 ，

所以OA=OC=6 ，

故答案为：A（-6，0），C（6，0）；

（2）如图，过点B作BE⊥AC，垂足为E，

∵∠BAC=45°，

∴AE=BE，

设BE=x，

∵AE+CE=OA+OC=12，

∴EC=12-x，

在RtΔBEC中，BC=，

∴，

整理得：x2-12x+32=0，

解得：x1=4 (不合题意舍去)，x2=8，

∴ BE=8，OE=8-6=2，

∴B（2，8），

把B（2，8）代入，得k=16，

（3）存在，

如图2，

若点P在OD上，若△PDB∽△AOP，

则 ，即 ，

解得：OP=2或OP=6，

∴P(0，2)或P(0，6)；

如图3，

若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，

则 ，即 ，

解得：OP=12，

∴P(0，12)；

如图4，

若点P在OD上方，△BDP∽△AOP，

则 ，即 ，

解得：OP=4+2或OP=4-2(不合题意舍去)，

∴P(0，4+2)；

如图5，

若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP，

则，即 ，

解得：OP=-4+2 或-4-2 (不合题意舍去)，

则P点坐标为(0，4-2 )

故点P的坐标为：（0，2）或（0，6）或（0，12）或（0，4+2）或（0，4-2）.