Question

如图所示，四边形ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件：①∠APB＝∠EPC；②∠APE＝∠APB；③P是BC的中点；④BP∶BC＝2∶3.其中能推出△ABP∽△ECP的有(    )

A. 4个    B. 3个    C. 2个    D. 1个

Answer

C

【解析】

利用相似三角形的判定定理，以及正方形的性质逐项判断即可．

【解析】
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠B＝∠C＝90°，
∵E为CD中点，
∴CD＝2CE，即AB＝BC＝2CE，
①当∠APB＝∠EPC时，结合∠B＝∠C，可推出△ABP∽△ECP；
②当∠APE＝∠APB≠60°时，则有∠APB≠∠EPC，所以不能推出△ABP∽△ECP；
③当P是BC中点时，则有BC＝2PC，可知PC＝CE，则△PCE为等腰直角三角形，而BP≠AB，即△ABP不是等腰直角三角形，故不能推出△ABP∽△ECP；④当BP：BC＝2：3时，则有BP：PC＝2：1，且AB：CE＝2：1，结合∠B＝∠C，可推出△ABP∽△ECP相似；
故选C．