Question

△ABC和△DBE是绕点B旋转的两个相似三角形，其中∠ABC与∠DBE、∠A与∠D为对应角．

(1)如图①，若△ABC和△DBE分别是以∠ABC与∠DBE为顶角的等腰直角三角形，且两三角形旋转到使点B、C、D在同一条直线上的位置时，请直接写出线段AD与线段EC的关系；

(2)若△ABC和△DBE为含有30°角的直角三角形，且两个三角形旋转到如图②的位置时，试确定线段AD与线段EC的关系，并说明理由；

(3)若△ABC和△DBE为如图③的两个三角形，且∠ACB＝α，∠BDE＝β，在绕点B旋转的过程中，直线AD与EC夹角的度数是否改变？若不改变，直接用含α、β的式子表示夹角的度数；若改变，请说明理由．

Answer

（1）线段AD与线段CE的关系是AD⊥EC，AD＝EC；（2）AD⊥CE，理由详见解析； （3）直线AD与EC夹角的度数不改变，且夹角度数为(180－α－β)度.

【解析】

（1）连接AD、CE，然后证得△ABD≌△BCE，根据所得的等角和等边来判断AD、EC的关系．
（2）连接AD、EC并延长，设交点为点F，根据已知条件，易证得△ABD∽△CBE，得AB：BC＝BD：BE，而∠1、∠2同为∠3的余角，则可证得△ABD＝△CBE，得∠5＝∠7＋30°，而∠6＝120°－∠5，由此可证得∠7＋∠6＝90°，即AD⊥CE．
（3）根据上面的求解过程可知：在绕点B旋转的过程中，直线AD与EC夹角的度数不改变，解题思路和方法同（2）．

【解析】
(1)线段AD与线段CE的关系是AD⊥EC，AD＝EC；

(2)如图②，连接AD、EC并延长，设交点为点F，∵△ABC∽△DBE，∴=，

∴=.∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠2，

∴△ABD∽△CBE.∴=.在Rt△ACB中，∠ACB＝30°，tan∠ACB＝，∵tan30°＝，∴.

∵∠DBE＝90°，∠DEB＝30°，∴∠4＝60°，∴∠5＋∠6＝120°.∵△ABD∽△CBE，∴∠5＝∠CEB＝30°＋∠7，∴∠7＝∠5－30°，∠6＝120°－∠5，∴∠7＋∠6＝90°，∴∠DFE＝90°即AD⊥CE；

(3)在绕点B旋转的过程中，直线AD与EC夹角的度数不改变，且夹角度数为(180－α－β)度