Question

如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC＝BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF＝FP(备注：当EF＝FP，∠EFP＝90°时，∠PEF＝∠FPE＝45°，反之当∠PEF＝∠FPE＝45°时，当EF＝FP)．

(1)在图1中，请你通过观察、测量、猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系．

(2)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；

(3)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ．你认为(2)中所猜想的BQ与AP的结论还成立吗？若成立，给出证明：若不成立，请说明理由．

Answer

(1)AB＝AP；AB⊥AP；(2)BQ＝AP；BQ⊥AP；证明见解析；(3)成立，证明见解析.

【解析】

（1）根据图形就可以猜想出结论．

（2）要证BQ＝AP，可以转化为证明Rt△BCQ≌Rt△ACP；要证明BQ⊥AP，可以证明∠QMA＝90°，只要证出∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1+∠3＝90°即可证出．

（3）类比（2）的证明就可以得到，结论仍成立．

(1)AB＝AP；AB⊥AP；

∵AC⊥BC且AC＝BC，

∴△ABC为等腰直角三角形，

∴∠BAC＝∠ABC＝(180°﹣∠ACB)＝45°，

又∵△ABC与△EFP全等，

同理可证∠PEF＝45°，

∴∠BAP＝45°+45°＝90°，

∴AB＝AP且AB⊥AP；

(2)BQ＝AP；BQ⊥AP．

证明：①由已知，得EF＝FP，EF⊥FP，

∴∠EPF＝45°．

又∵AC⊥BC，

∴∠CQP＝∠CPQ＝45°．

∴CQ＝CP．

∵在Rt△BCQ和Rt△ACP中，

BC＝AC，∠BCQ＝∠ACP＝90°，CQ＝CP，

∴△BCQ≌△ACP(SAS)，

∴BQ＝AP．

②如图，延长BQ交AP于点M．

∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，

∴∠1＝∠2．

∵在Rt△BCQ中，∠1+∠3＝90°，又∠3＝∠4，

∴∠2+∠4＝∠1+∠3＝90°．

∴∠QMA＝90°．

∴BQ⊥AP；

(3)成立．

①如图，∵∠EPF＝45°，

∴∠CPQ＝45°．

又∵AC⊥BC，

∴∠CQP＝∠CPQ＝45°．

∴CQ＝CP．

∵在Rt△BCQ和Rt△ACP中，

BC＝AC，CQ＝CP，∠BCQ＝∠ACP＝90°，

∴Rt△BCQ≌Rt△ACP．

∴BQ＝AP．

②如图③，延长QB交AP于点N，则∠PBN＝∠CBQ．

∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，

∴∠BQC＝∠APC．

∵在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ＝90°，

又∵∠CBQ＝∠PBN，

∴∠APC+∠PBN＝90°．

∴∠PNB＝90°．

∴QB⊥AP．