Question

如图，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处．再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG．

（1）求证：EF∥CG；

（2）求点C，点A在旋转过程中形成的，与线段CG所围成的阴影部分的面积．

Answer

(1)证明见解析；(2) S阴影＝.

【解析】

试题（1）根据正方形的性质可得AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，再根据旋转变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得△ABF和△CBE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，全等三角形对应边相等可得AF=EC，然后求出∠AFB+∠FAB=90°，再求出∠CFG=∠FAB=∠ECB，根据内错角相等，两直线平行可得EC∥FG，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形EFGC是平行四边形，然后根据平行四边形的对边平行证明；

（2）求出FE、BE的长，再利用勾股定理列式求出AF的长，根据平行四边形的性质可得△FEC和△CGF全等，从而得到S△FEC=S△CGF，再根据S阴影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC﹣S扇形FAG列式计算即可得解．

试题解析：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC=AD=2，∠ABC=90°．∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得到△ABF，∴△ABF≌△CBE，∴∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，AF=CE，∴∠AFB+∠FAB=90°．∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90°，∴∠CFG=∠FAB=∠ECB，∴EC∥FG．∵AF=CE，AF=FG，∴EC=FG，∴四边形EFGC是平行四边形，∴EF∥CG；

（2）解：∵AD=2，E是AB的中点，∴BF=BE=AB=×2=1，∴AF===，由平行四边形的性质，△FEC≌△CGF，∴S△FEC=S△CGF，∴S阴影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC﹣S扇形FAG=

= ．