Question

如图，点E为⊙O的直径AB上一个动点，点C、D在下半圆AB上（不含A、B两点），且∠CED=∠OED=60°，连OC、OD

（1）求证：∠C=∠D；

（2）若⊙O的半径为r，请直接写出CE+ED的变化范围．

Answer

（1）证明见解析；（2）r＜CE+ED＜2r

【解析】

（1）延长CE交⊙O于D′，连接OD′，由已知求得∠AEC=60°，进而求得∠DEO=∠D′EO=60°，根据圆是轴对称图形即可证得∠D=∠D′，ED=ED′，然后根据等腰三角形的性质求得∠D′=∠C，从而证得结论；
（2）证得∠COD′＞60°，从而证得CD′＞OC=OD′，由CD′＜OC+OD′，CE+ED=CE+ED′=CD′，从而得出r＜CE+ED＜2r．

证明：（1）延长CE交⊙O于D′，连接OD′

∵∠CED=∠OED=60°，

∴∠AEC=60°，

∴∠OED′=60°，

∴∠DEO=∠D′EO=60°，

由轴对称的性质可得∠D=∠D′，ED=ED′，

∵OC=OD′，

∴∠D′=∠C，

∴∠C=∠D；

（2）∵∠D′EO=60°，

∴∠C＜60°，

∴∠C=∠D′＜60°，

∴∠COD′＞60°，

∴CD′＞OC=OD′，

∵CD′＜OC+OD′，

∵CE+ED=CE+ED′=CD′，

∴r＜CE+ED＜2r．