Question

已知⊙O的半径为2，∠AOB=120°．

（1）点O到弦AB的距离为　　；．

（2）若点P为优弧AB上一动点（点P不与A、B重合），设∠ABP=α，将△ABP沿BP折叠，得到A点的对称点为A′；

①若∠α=30°，试判断点A′与⊙O的位置关系；

②若BA′与⊙O相切于B点，求BP的长；

③若线段BA′与优弧APB只有一个公共点，直接写出α的取值范围．

Answer

（1）1；（2）①点A′在⊙O上；②；③0°＜α＜30°或60°≤α＜120°

【解析】

（1）如图，作辅助线；证明∠AOC=60°，得到OC=1．

（2）①证明∠PAB=90°，得到PB是⊙O的直径；证明∠PA′B=90°，即可解决问题．

②证明∠A′BP=∠ABP=60°；借助∠APB=60°，得到△PAB为正三角形，求出AB的长即可解决问题．

③直接写出α的取值范围即可解决问题．

【解析】
（1）如图，过点O作OC⊥AB于点C；

∵OA=OB，

则∠AOC=∠BOC=×120°=60°，

∵OA=2，

∴OC=1．

故答案为1．

（2）①∵∠AOB=120°

∴∠APB=∠AOB=60°，

∵∠PBA=30°，

∴∠PAB=90°，

∴PB是⊙O的直径，

由翻折可知：∠PA′B=90°，

∴点A′在⊙O上．

②由翻折可知∠A′BP=∠ABP，

∵BA′与⊙O相切，

∴∠OBA′=90°，

∴∠ABA′=120°，

∴∠A′BP=∠ABP=60°；

∵∠APB=60°，

∴△PAB为正三角形，

∴BP=AB；

∵OC⊥AB，

∴AC=BC；而OA=2，OC=1，

∴AC=，

∴BP=AB=2．

③α的取值范围为0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．