Question

如图：CD是⊙O的直径，线段AB过圆心O，且OA=OB=，CD=2，连接AC、AD、BD、BC，AD、CB分别交⊙O于E、F.

（1）问四边形CEDF是何种特殊四边形？请证明你的结论；

（2）当AC与⊙O相切时，四边形CEDF是正方形吗？请说明理由.

Answer

（1）四边形CEDF是矩形（2）四边形CEDF是正方形.

【解析】

试题(1)根据对角线互相平分的四边形为平行四边形先判断四边形ADBC是平行四边形，根据平行四边形的性质可得CB∥AD，根据平行四边形的性质可得∠CFD+∠EDF=180°，再由直径所对的圆周角为直角，即可判断∠CFD=∠CED=∠EDF=90°，所以四边形CEDF是矩形；（2）由 AC是⊙O的切线，CD是直径，可得∠ACD=90°，在Rt△ACO中，OA=，OC=1， 求得AC =2，则CD=AC=2，∠CDE=45°，有因∠DEC＝90°，DE=CE，即可判断矩形CEDF是正方形.

试题解析：

（1）四边形CEDF是矩形．

证明：∵CD是⊙O的直径，

∴∠CFD=∠CED=90°，

∵CD⊙O的直径，

∴OC=OD，

∵OA=OB，

∴四边形ADBC是平行四边形，

∴CB∥AD，

∴∠CFD+∠EDF=180°，

∴∠EDF=90°，

∴四边形CEDF是矩形．

（2）四边形CEDF是正方形.

理由：∵AC是⊙O的切线，CD是直径，

∴∠ACD=90°，

在Rt△ACO中，OA=，OC=1，5，

∴AC=2，

则CD=AC=2，∠CDE=45°，

又∵∠DEC＝90°

∴DE=CE，

∴矩形CEDF是正方形