Question

已知二次函数y=ax²﹣4ax+3a．

（Ⅰ）求该二次函数的对称轴；

（Ⅱ）若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，且当1≤x≤4时，函数图象的最高点为点P，最低点为点Q，求△OPQ的面积；

（Ⅲ）若对于该抛物线上的两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），当t≤x₁≤t+1，x₂≥5时，均满足y₁≥y₂，请结合图象，直接写出t的最大值．

Answer

（Ⅰ）对称轴x=2；（Ⅱ）△OPQ的面积为10；（Ⅲ）t的最大值为4．

【解析】根据抛物线的对称轴公式直接写出即可.

抛物线的开口向下，对称轴在1≤x≤4的范围内，应该是在对称轴处取得最大值，即可求出顶点坐标，代入求出的值，分析二次函数在1≤x≤4的范围内的最小值，求出点 的面积可以用长方形的面积减去3个直角三角形的面积即可.

当 时，均满足抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合时，满足条件，即可列出不等式，求解即可.

（Ⅰ）对称轴x=﹣=2．

（Ⅱ）∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x=2，

∴当x=2时，y取到在1≤x≤4上的最大值为2，即

∴

∴

∴

∵当1≤x≤2时，y随x的增大而增大，

∴当x=1时，y取到在1≤x≤2上的最小值0．

∵当2≤x≤4时，y随x的增大而减小，

∴当x=4时，y取到在2≤x≤4上的最小值﹣6．

∴当1≤x≤4时，y的最小值为﹣6，即

∴的面积为

（Ⅲ）∵当 时，均满足

∴当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合时，满足条件，

∴

∴

∴t的最大值为4．