Question

已知：关于x的函数y=kx²+k²x﹣2的图象与y轴交于点C，

（1）当k=﹣2时，求图象与x轴的公共点个数；

（2）若图象与x轴有一个交点为A，当△AOC是等腰三角形时，求k的值．

（3）若x≥1时函数y随着x的增大而减小，求k的取值范围．

Answer

（1）图象与x轴公共点只有一个；（2）k的值为﹣1+或﹣1﹣或1；（3）﹣2≤k＜0．

【解析】（1）△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点（或者把k=-2代入函数关系，直接求得抛物线与x轴的交点横坐标）；
（2）根据△AOC是等腰直角三角形易求点A的坐标为（2，0）或（-2，0）．把点A的坐标代入函数解析式，通过方程来求k的值；
（3）由“k≥1时函数y随着x的增大而减小”可知，抛物线开口向下．则k<0，且对称轴在直线x=1的左侧，故﹣≤1，即≤1.

（1）方法一：当k=﹣2时，函数为y=﹣2x2+4x﹣2，

∵b2﹣4ac=42﹣4×（﹣2）×（﹣2）=0.

∴图象与x轴公共点只有一个．

方法二：当k=﹣2时，函数为y=﹣2x2+4x﹣2，

令y=0，则﹣2x2+4x﹣2=0，

解得：x1=x2=1，

∴图象与x轴公共点只有一个；

（2）当△AOC是等腰三角形时，

∵∠AOC=90°，OC=2，

∴可得OA=OC=2.

∴点A的坐标为（2，0）或（﹣2，0）．

把x=2，y=0代入解析式 得2k2+4k﹣2=0，

解得 k1=﹣1+，k1=﹣1﹣，

把x=﹣2，y=0代入解析式 得﹣2k2+4k﹣2=0，

解得 k1=k2=1．

∴k的值为﹣1+或﹣1﹣或1；

（3）由“x≥1时函数y随着x的增大而减小”可知，抛物线开口向下，

∴k＜0，且对称轴在直线x=1的左侧，

∴﹣≤1，即≤1．

解不等式组，

解得﹣2≤k＜0．