Question

某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y与投资量x成正比例关系，如图1所示：种植花卉的利润y与投资量x成二次函数关系，如图2所示（注：利润与投资量的单位：万元）

（1）分别求出利润y₁与y₂关于投资量x的函数关系式；

（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？

（3）在（2）的基础上要保证获利在22万元以上，该园林专业户应怎样投资？

Answer

(1)y1=2x,y2=x2（x≥0）；(2) x=8时，w的最大值是32 ;(3)见解析.

【解析】

（1）可根据图象利用待定系数法求解函数解析式；

（2）根据总利润=树木利润+花卉利润，列出函数关系式，再求函数的最值；

（3）令w=22求出x的值即可得．

（1）设y1=kx，由图1所示，函数y1=kx的图象过（1，2），

所以2=k•1，k=2，

故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x（x≥0），

∵该抛物线的顶点是原点，

∴设y2=ax2，

由图2所示，函数y2=ax2的图象过（2，2），

∴2=a•22，

解得：a=，

故利润y2关于投资量x的函数关系式是：y=x2（x≥0）；

（2）因为种植花卉x万元（0≤x≤8），则投入种植树木（8﹣x）万元，

w=2（8﹣x）+0.5 x2=x2﹣2x+16=（x﹣2）2+14，

∵a=0.5＞0，0≤x≤8，

∴当x=2时，w的最小值是14，

∵a=0.5＞0，

∴当x＞2时，w随x的增大而增大，

∵0≤x≤8，

∴当 x=8时，w的最大值是32；

（3）根据题意，当w=22时，（x﹣2）2+14=22，

解得：x=﹣2（舍）或x=6，

∵w=（x﹣2）2+14在2≤x≤8的范围内随x的增大，w增大，

∴w＞22，只需要x＞6，

故保证获利在22万元以上，该园林专业户应投资超过6万元．