Question

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx-8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（-2，0），（6，-8）．

（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；

（2）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．

Answer

(1)y＝x2－3x－8；B(8，0),E(3，－4)；(2)m的值为－或－.

【解析】

（1）根据待定系数法求出抛物线解析式即可求出点B坐标，求出直线OD解析式即可解决点E坐标；

（2）①如图1中，当OP=OQ时，△OPQ是等腰三角形，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H，求出点M、H的坐标即可解决问题．②如图2中，当QO=QP时，△POQ是等腰三角形，先证明CE∥PQ，根据平行线的性质列出方程即可解决问题．

（1）∵抛物线y＝ax2＋bx－8经过点A(－2，0)，D(6，－8)，

∴将A、D两点的坐标代入得，

解得，

∴抛物线的函数表达式为y＝x2－3x－8；

（2）需分两种情况进行讨论：

①当OP＝OQ时，△OPQ是等腰三角形，如解图①，

图1

∵点E的坐标为(3，－4)，

∴OE＝＝5，

过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H，

则＝，

∴OM＝OE＝5，

∴点M的坐标为(0，－5)，

设直线ME的函数表达式为y＝k1x－5，E（3，-4）在直线ME上，

∴3k1－5＝－4，解得k1＝，

∴直线ME的函数表达式为y＝x－5，

令y＝0，解得x＝15，

∴点H的坐标为(15，0)．

又∵MH∥PB，

∴＝，即，

∴m＝－；

②当QO＝QP时，△OPQ是等腰三角形，如图，

∵当x＝0时，y＝x2－3x－8＝－8，

∴点C的坐标为(0，－8)，

∴CE＝＝5，

∴OE＝CE，

∴∠1＝∠2，

又∵QO＝QP，

∴∠1＝∠3，

∴∠2＝∠3，

∴CE∥PB.

设直线CE交x轴于点N，其函数表达式为y＝k2x－8，

E（3，-4）在直线CE上，

∴3k2－8＝－4，解得k2＝，

∴直线CE的函数表达式为y＝x－8，

令y＝0，得x－8＝0，

∴x＝6，

∴点N的坐标为(6，0)．

∵CN∥PB.

∴＝，

∴＝，解得m＝－.

综上所述，当m的值为－或－时，△OPQ是等腰三角形．