Question

如图，直线l₁∥l₂，⊙O与l₁和l₂分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l₁和l₂上的动点，MN沿l₁和l₂平移．⊙O的半径为1，∠1=60°．有下列结论：①MN=；②若MN与⊙O相切，则AM=；③若∠MON=90°，则MN与⊙O相切；④l₁和l₂的距离为2，其中正确的有（　　）

A. 4个    B. 3个    C. 2个    D. 1个

Answer

B

【解析】

首先过点N作NC⊥AM于点C，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，⊙O的半径为1，易求得MN==，l1和l2的距离为2；若∠MON=90°，连接NO并延长交MA于点C，易证得CO=NO，继而可得即O到MN的距离等于半径，可证得MN与⊙O相切；由题意可求得若MN与⊙O相切，则AM=或．

如图1，

过点N作NC⊥AM于点C，

∵直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，⊙O的半径为1，

∴CN=AB=2，

∵∠1=60°，

∴MN==，故①与④正确；

如图3，

若∠MON=90°，连接NO并延长交MA于点C，则△AOC≌△BON，

故CO=NO，△MON≌△MOM′，故MN上的高为1，即O到MN的距离等于半径．故③正确；

如图2，

∵MN是切线，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，

∴∠AMO=∠1=30°，

∴AM=；

∵∠AM′O=60°，

∴AM′=，

∴若MN与⊙O相切，则AM=或；故②错误．

故选：B．