Question

如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，AE与BC交于点F，∠C=2∠EAB．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）已知CD=4，CA=6，

①求CB的长；

②求DF的长．

Answer

(1)证明见解析；(2) ①BC=9；②DF=2.

【解析】

(1) 连结AD, 根据圆周角定理,由E是BD的中点得到∠EAB=∠EAD, 由于∠ACB=2∠EAB, 则∠ACB=∠DAB, 再利用圆周角定理得到∠ADB=, 则∠DAC+∠ACB=90, 所以∠DAC+∠DAB=, 于是根据切线的判定定理得到AC是OO的切线;

(2)①在Rt△ABC中, 根据cosC===，AC=6可得AC=6;

②作FH⊥AB于H, 由BD=BC-CD=5, ∠EAB=∠EAD, FD⊥AD,FH⊥AB, 推出FD=FH, 设FB=x, 则DF=FH=5-x， 根据cos∠BFH=cos∠C==，构建方程即可解决问题.

(1)连结AD，如图，

∵E是的中点，

∴==，

∴∠EAB=∠EAD，

∵∠ACB=2∠EAB，

∴∠ACB=∠DAB，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAC+∠ACB=90°，

∴∠DAC+∠DAB=90°，即∠BAC=90°，

∴AC⊥AB，

∴AC是⊙O的切线；

(2)①在Rt△ACB中，

∵cosC===，AC=6，

∴BC=9．

②作FH⊥AB于H，

∵BD=BC﹣CD=5，∠EAB=∠EAD，FD⊥AD，FH⊥AB，

∴FD=FH，设FB=x，则DF=FH=5﹣x，

∵FH∥AC，

∴∠HFB=∠C，

在Rt△BFH中，

∵cos∠BFH=cos∠C==，

∴=，

解得x=3，即BF的长为3，

∴DF=2