Question

如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．

（1）求证：AB=AC；

（2）求证：DE为⊙O的切线；

（3）若⊙O半径为5，∠BAC=60°，求DE的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

试题（1）连接AD，根据条件证明AD是BC的垂直平分线即可；（2）连接OD，根据三角形中位线定理证得：OD∥AC ，从而证出OD⊥DE即可；（3）根据条件可得△ABC是等边三角形，根据三线合一可得出CD的长，然后在Rt△CDE中利用勾股定理可求出DE的长．

试题解析：（1）证明：连接AD

∵AB是⊙O的直径

∴∠ADB=90°

又BD=CD

∴AD是BC的垂直平分线

∴AB=AC

（2）连接OD

∵点O、D分别是AB、BC的中点

∴OD∥AC

又DE⊥AC

∴OD⊥DE，

∴DE为⊙O的切线

（3）由AB=AC， ∠BAC=60°知△ABC是等边三角形

∵⊙O的半径为5

∴AB=BC=10， CD=BC=5

又∠C=60°

∴．