Question

设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程x²+x+c-a=0有两个相等的实数根，方程3cx+2b=2a的根为x=0.

（1）试判断△ABC的形状；

（2）若a，b为方程x²+mx-3m=0的两个根，求m的值.

Answer

（1）∵x2+x+c－a=0有两个相等的实数根，

∴△=（）2-4×（c-a）=0，

整理得a+b-2c="0" ①，

又∵3cx+2b=2a的根为x=0，

∴a="b" ②，

把②代入①得a=c，

∴a=b=c，

∴△ABC为等边三角形；

（2）a，b是方程x2+mx-3m=0的两个根，

∴方程x2+mx-3m=0有两个相等的实数根

∴△=m2-4×（-3m）=0，

即m2+12m=0，

∴m1=0，m2=-12．

当m=0时，原方程的解为x=0（不符合题意，舍去），

∴m=-12．

【解析】

（1）因为方程有两个相等的实数根，即△=0，由△=0可以得到一关于a,c的方程，再结合方程3cx+2b=2a的根为x=0,代入即可得到一关于a,b的方程，联立即可求出a，b，c的关系.

（2）根据（1）中求出a，b的值，可以关于m的方程，解方程即可求出m.

【解析】
∵有两个相等的5t实数根，

∴，

整理得 ①，

又∵的根为，

∴②，

把②代入①得，

∴，

∴为等边三角形；

，是方程的两个根，

∴方程有两个相等的实数根

∴，

即，

∴，．

当时，原方程的解为（不符合题意，舍去），

∴．