Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x²－2x－3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点(不与点D重合)．

(1)求∠OBC的度数；

(2)连接CD，BD，DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S_△OCE＝S_{四边形OCDB}，求此时P点的坐标；

(3)过点P作PF⊥x轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值．

Answer

(1) 45°;(2) P(2，－3);(3).

【解析】

（1）由抛物线解析式可得三角形各点坐标，判断三角形形状，即可得到其内角；

（2）过点D作DH⊥x轴于点H，由不规则图象面积分割求和的方法求得面积，得到点E坐标，再求得直线ED解析式，联立抛物线方程即可得到点P坐标；

（3）先分别表示出点F和点P坐标，再利用已知条件用其坐标表示线段PF的长度，再根据二次函数性质求得其最大值即可.

【解析】
(1)A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)，D(1，－4)．∵OC＝OB＝3，∴△OBC为等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°.

(2)过点D作DH⊥x轴于点H，此时S四边形OCDB＝S梯形OCDH＋S△HBD，∵OH＝1，OC＝3，HD＝4，HB＝2，∴S梯形OCDH＝·(OC＋HD)·OH＝，S△HBD＝·HD·HB＝4，∴S四边形OCDB＝.∴S△OCE＝S四边形OCDB＝＝·OC·OE，∴OE＝5，∴E(5，0)．∴lDE：y＝x－5.∵DE交抛物线于P，设P(x，y)，∴x2－2x－3＝x－5，解得 x＝2 或x＝1(D点，舍去)，∴xP＝2，代入lDE：y＝x－5，∴P(2，－3)．

(3)如图，lBC：y＝x－3.∵F在BC上，∴yF＝xF－3.∵P在抛物线上，∴yP＝x－2xP－3，∴PF＝yF－yP＝xF－3－(x－2xP－3)．∵xP＝xF，∴PF＝－x＋3xP＝－(xP－)2＋ (1＜xP＜3)，∴当xP＝时，线段PF长度最大，最大值为.