Question

如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，A(-3,0)，B(0,1)，C(m,n)。

(1)请直接写出C点坐标。

(2)将△ABC 沿x轴的正方向平移t个单位，、两点的对应点、正好落在反比例函数在第一象限内图象上。请求出t，k的值。

(3)在(2)的条件下，问是否存x轴上的点M和反比例函数图象上的点N，使得以、、M、N为顶点的四边形构成平行四边形?如果存在，请求出所有满足条件的点M和点N的坐标；如果不存在，请说明理由。

Answer

（1）（－4，3）；（2），；（3）存在，M（6.5，0），N（1.5，4）或M（7，0），N（3，2）或M（－7，0），N（－3，2）

【解析】

（1）由在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，可证得△ADC≌△BOA，继而求得C点坐标；
（2）首先设向右平移了t个单位长度，则点B′的坐标为（t，1）、C′的坐标为（t-4，3），由B′、C′正好落在某反比例函数图象上，即可得t=3（t-4），继而求得m的值，则可求得各点的坐标，于是得到结论；
（3）如图2，当MN为平行四边形MC′NB′的对角线时，如图3，当MC′为平行四边形MC′NB′的对角线时，如图4，当MB′为平行四边形MC′NB′的对角线时，根据中点坐标公式即可得到结论．

（1）如图1，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠ADC=∠AOB=90°，

∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵Rt△ABC，∠A=90°，
∴∠DAC+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠ACD，
在△ADC和△BOA中，
，
∴△ADC≌△BOA（AAS），
∴AD=OB=1，CD=OA=3，
∴OD=OA+AD=4，
∴C点坐标为：（-4，3）；
（2）设向右平移了t个单位长度，则点B′的坐标为（t，1）、C′的坐标为（t-4，3），

∵B′、C′正好落在某反比例函数图象上，
∴t=3（t-4），
解得：t=6，
∴B′（6，1），C′（2，3），
∴k=6，
∴反比例函数的解析式为：y= ；
（3）存在，如图2，当MN为平行四边形MC′NB′的对角线时，

由平行四边形的对角线互相平分，可知B′C′，MN的中点为同一个点，
即,

∴yN=4代入y=得xN=1.5，
∴N（1.5，4）；
∵,

∴xM=6.5，
∴M（6.5，0）；
如图3，当MC′为平行四边形MC′NB′的对角线时，同理可得M（7，0），N（3，2）；
如图4，当MB′为平行四边形MC′NB′的对角线时，同理可得M（-7，0），N（-3，2）；
综上所述：存在M（6.5，0），N（1.5，4）或M（7，0），N（3，2）或M（-7，0），N（-3，2），使得以B′、C′，M，N为顶点的四边形构成平行四边形．