Question

在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E．

（1）如图1，求证：DB＝EC；

（2）现将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转一个角度，如图2，连接DB、EC．

①结论DB＝EC是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

②延长BD交EC于点P（请自己在图2中画出图形并表明字母），若∠ACB＝70°，请求出∠BPC的度数．

Answer

（1）见解析；（2）①BD＝CE结论成立．理由见解析；②∠BPC＝∠BAO＝40°．

【解析】

（1）欲证明AD＝AE，只要证明∠ADE＝∠AED即可；

（2）①结论成立．只要证明△ABD≌△ACE（SAS）．

②如图2﹣2中．设AC交BD于点O．利用“8字型”证明角相等即可解决问题；

（1）如图1中，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

又∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，

∴∠ADE＝∠AED，

∴AD＝AE，

∴AB﹣AD＝AC﹣AE，

∴BD＝CE．

（2）①结论成立．理由如下：

如图2﹣1中，

由已知得AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAD，

∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAD＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD＝CE．

②如图2﹣2中．设AC交BD于点O．

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝70°，

∴∠BAC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，

∵△ADB≌△AEC，

∴∠ABO＝∠PCO，

∵∠AOB＝∠POC，

∴∠BPC＝∠BAO＝40°．