Question

如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．

（1）求证：∠EFA＝90°﹣∠B；

（2）若∠B＝60°，求证：EF＝DF．

Answer

（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）由题可知∠BAC＋∠BCA＝180°－∠B，进而可求得∠FAC＋∠FCA＝×（180°－∠B），再根据∠EFA＝∠FAC＋∠FCA即可求得该关系；（2）先作出三条辅助线：过点F作FG⊥BC于G、作FH⊥AB于H、作FM⊥AC于M，再证明△EFH和△DFG全等即可求得EF＝DF.

证明：（1）∵∠BAC＋∠BCA＝180°﹣∠B，

又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，

∴∠FAC＝∠BAC，∠FCA＝∠BCA，

∴∠FAC＋∠FCA＝×（180°﹣∠B）＝90°﹣∠B，

∵∠EFA＝∠FAC＋∠FCA，

∴∠EFA＝90°﹣∠B．

（2）如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M．

∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，

∴FG＝FH＝FM，

∵∠EFH＋∠DFH＝120°，

∠DFG＋∠DFH＝360°﹣90°×2﹣60°＝120°，

∴∠EFH＝∠DFG，

在△EFH和△DFG中，

，

∴△EFH≌△DFG（AAS），

∴EF＝DF．