Question

已知：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，以AC为边作等边三角形ACE，直线BE交直线AD于点F，连接FC．

（1）如图1，120°＜∠BAC＜180°，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，且FC交AE于点M．

①求证：∠FEA＝∠FCA；

②猜想线段FE，AD，FD之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）当60°＜∠BAC＜120°，且△ACE与△ABC在直线AC的异侧时，利用图2画出图形探究线段FE，AD，FD之间的数量关系，并直接写出你的结论．

Answer

（1）①见解析；②EF＝FD+AD；证明见解析；（2）EF＝AD+DF.

【解析】

（1）①利用中垂线得到∠FBC＝∠FCB，从而得到∠FBA＝∠FCA，再由等边三角形的性质得到∠ABF＝∠AEF即可；②先得到∠EFC＝∠EAC＝60°，从而判断出∠ACD＋∠ACF＝30°，进而得出∠FCK＝∠ECF，判断出△CFE≌△CFK，即可；（2）同（1）②的方法判断出∠FCK＝∠ECF，判断出△CFE≌△CFK，即可.

证明：（1）①∵△AEC是等边三角形

∴∠EAC＝∠ACE＝60°，CE＝AC＝AE，且AB＝AC

∴AB＝AE

∴∠ABF＝∠AEF

∵AB＝AC，AD⊥BC

∴AD是BC的垂直平分线

∴BF＝FC，且AF＝AF，AB＝AC

∴△ABF≌△ACF（SSS）

∴∠ABF＝∠ACF

∴∠ACF＝∠AEF

②EF＝FD＋AD

延长AD使DP＝AD，连接CP

∵AD＝DP，∠ADC＝∠PDC，CD＝CD

∴△ADC≌△PDC（SAS）

∴AC＝CP＝CE，∠ACD＝∠PCD

∵∠ACF＝∠AEF，且∠AMC＝∠FME

∴∠EFC＝∠EAC＝60°

∵BF＝CF，且∠EFC＝60°

∴∠FCD＝30°

∵∠FCA＝∠FCD﹣∠ACD

∴∠FCA＝30°﹣∠ACD

∵∠ECF＝∠ECA﹣∠FCA

∴∠ECF＝30°＋∠ACD

∵∠FCP＝∠FCD＋∠DCP

∴∠FCP＝30°＋∠ACD

∴∠ECF＝∠FCP，且FC＝FC，CP＝CE

∴△ECF≌△FCP（SAS）

∴EF＝FP

∴EF＝FD＋AD

（2）连接CF，延长AD使FD＝DP，连接CP．

∵△AEC是等边三角形

∴∠EAC＝∠ACE＝60°，CE＝AC＝AE，且AB＝AC

∴AB＝AE

∴∠ABF＝∠AEF

∵AB＝AC，AD⊥BC

∴AD是BC的垂直平分线

∴BF＝FC，且AF＝AF，AB＝AC

∴△ABF≌△ACF（SSS）

∴∠ABF＝∠ACF

∴∠ACF＝∠AEF且∠AME＝∠CMF

∴∠EAC＝∠EFC＝60°

∵BF＝CF，∠EFC＝60°

∴∠FCB＝30°

∵FD＝DP，∠FDC＝∠PDC，CD＝CD

∴△FDC≌△PDC（SAS）

∴FC＝CP，∠FCD＝∠PCD＝30°

∴∠FCP＝60°＝∠ACE

∴∠ACP＝∠FCE且CF＝CP，AC＝CE

∴△ACP≌△ECF（SAS）

∴EF＝AP

∴EF＝AD＋DP＝AD＋DF