Question

如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

（1）求证：BE=CF；

（2）如果AB=8，AC=6，求AE、BE的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）AE=7，BE=1．

【解析】

试题（1）连接DB、DC，先由角平分线的性质就可以得出DE=DF，再证明△DBE≌△DCF就可以得出结论；

（2）由条件可以得出△ADE≌△ADF就可以得出AE=AF，进而就可以求出结论．

试题解析：（1）证明：连接DB、DC，

∵DG⊥BC且平分BC，

∴DB=DC．

∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF．∠AED=∠BED=∠ACD=∠DCF=90°

在Rt△DBE和Rt△DCF中

，

Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），

∴BE=CF．

（2）在Rt△ADE和Rt△ADF中

，

∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．

∴AE=AF．

∵AC+CF=AF，

∴AE=AC+CF．

∵AE=AB﹣BE，

∴AC+CF=AB﹣BE，

∵AB=8，AC=6，

∴6+BE=8﹣BE，

∴BE=1，

∴AE=8﹣1=7．

即AE=7，BE=1．