Question

如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P；

（1）在图①中，分别画出点P到△ABC的三边AC、BC、BA的垂线段PF、PG、PH，写出三条垂线段的数量关系，并说明理由；

（2）在图②中，∠ABC是直角，∠C=60º，其余条件不变，判断PE，PD之间的数量关系，并说明理由；

Answer

（1）PF=PG=PH；理由见解析；（2）PE=PD；理由见解析

【解析】

（1）PF=PG=PH，根据已知条件及角平分线的性质定理即可证得结论；（2）过点P作PF⊥AC，PG⊥BC，垂足分别为F、G，证明△PFE≌△PGD，根据全等三角形的性质即可证得PE=PD．

（1）如图1所示：

PF=PH=PG，理由如下：

∵AD平分∠BAC，PF⊥AC，PH⊥AB，

∴PF=PH，

∵BE平分∠ABC，PG⊥BC，PH⊥AB，

∴PG=PH，

∴PF=PH=PG；

（2）PE=PD．

证明：∵∠ABC=90°，∠C=60°，

∴∠CAB=30°，

∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，

∴∠CAD=∠BAD=∠CAB=15°，∠ABE=∠CBE=∠ABC=45°，

过点P作PF⊥AC，PG⊥BC，垂足分别为F、G，

则∠PFE=∠PGD=90°，

∵∠PDG为△ADC的一个外角，

∴∠PDG=∠C+∠CAD=60°+∠CAB=60°+15°=75°，

∵∠PEF是△ABE的一个外角，

∴∠PEF=∠CAB+∠ABE=30°+∠CBA=30°+45°=75°，

∴∠PEF=∠PDG，

∵PF⊥AC，PG⊥BC，

∴∠PFE=∠PGD=90°，

由（1）得：PF=PG，

∴△PFE≌△PGD，

∴PE=PD．