Question

如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB＝OP²，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．

（1）如图2，已知∠MON＝90°，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB＝135°．求证：∠APB是∠MON的智慧角．

（2）如图1，已知∠MON＝α（0°＜α＜90°），OP＝2．若∠APB是∠MON的智慧角，连结AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积．

（3）如图3，C是函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，过C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC＝2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标．

Answer

（1）证明见解析 （2）∠APB＝180°﹣α，S△AOB＝2sinα （3）（，）或（，﹣）

【解析】

（1）由角平分线求出∠AOP＝∠BOP＝∠MON＝45°，再证出∠OAP＝∠OPB，证明△AOP∽△POB，得出对应边成比例，得出OP2＝OA•OB，即可得出结论；

（2）由∠APB是∠MON的智慧角，得出，证出△AOP∽△POB，得出对应角相等∠OAP＝∠OPB，即可得出∠APB＝180°﹣α；过点A作AH⊥OB于H，由三角形的面积公式得出：S△AOB＝OB•AH，即可得出S△AOB＝2sinα；

（3）设点C（a，b），则ab＝3，过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：

①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，BC＝2CA不可能；当得A在x轴的正半轴上时；先求出，由平行线得出△ACH∽△ABO，得出比例式：，得出OB＝3b，OA＝，求出OA•OB＝，根据∠APB是∠AOB的智慧角，得出OP，即可得出点P的坐标；

②当点B在y轴的负半轴上时；由题意得出：AB＝CA，由AAS证明△ACH≌△ABO，得出OB＝CH＝b，OA＝AH＝a，得出OA•OB＝，求出OP，即可得出点P的坐标．

（1）证明：∵∠MON＝90°，P为∠MON的平分线上一点，

∴∠AOP＝∠BOP＝∠MON＝45°，

∵∠AOP+∠OAP+∠APO＝180°，

∴∠OAP+∠APO＝135°，

∵∠APB＝135°，

∴∠APO+∠OPB＝135°，

∴∠OAP＝∠OPB，

∴△AOP∽△POB，

∴，

∴OP2＝OA•OB，

∴∠APB是∠MON的智慧角；

（2）【解析】
∵∠APB是∠MON的智慧角，

∴OA•OB＝OP2，

∴，

∵P为∠MON的平分线上一点，

∴∠AOP＝∠BOP＝α，

∴△AOP∽△POB，

∴∠OAP＝∠OPB，

∴∠APB＝∠OPB+∠OPA＝∠OAP+∠OPA＝180°﹣α，

即∠APB＝180°﹣α；

过点A作AH⊥OB于H，连接AB；如图1所示：

则S△AOB＝OB•AH＝OB•OAsinα＝OP2•sinα，

∵OP＝2，

∴S△AOB＝2sinα；

（3）设点C（a，b），则ab＝3，过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：

①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，如图2所示：

BC＝2CA不可能；

当点A在x轴的正半轴上时，如图3所示：

∵BC＝2CA，

∴，

∵CH∥OB，

∴△ACH∽△ABO，

∴，

∴OB＝3b，OA＝ ，

∴OA•OB＝，

∵∠APB是∠AOB的智慧角，

∴OP＝，

∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，

∴点P的坐标为：（，）；

②当点B在y轴的负半轴上时，如图4所示：

∵BC＝2CA，

∴AB＝CA，

在△ACH和△ABO中，

，

∴△ACH≌△ABO（AAS），

∴OB＝CH＝b，OA＝AH＝a，

∴OA•OB＝a•b＝，

∵∠APB是∠AOB的智慧角，

∴OP＝，

∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，

∴点P的坐标为：（，﹣）；

综上所述：点P的坐标为：（，），或（，﹣）．