Question

如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于E，过O作FG⊥AB，交AC于F，交AB于H，交⊙O于G．

（1）求证：OF•DE=OE•2OH；

（2）若⊙O的半径为12，且OE：OF：OD=2：3：6，求阴影部分的面积．（结果保留根号）

Answer

（1）证明：∵BD是直径，∴∠DAB=90°。

∵FG⊥AB，∴DA∥FO。∴△FOE∽△ADE。

∴，即OF•DE=OE•AD。

∵O是BD的中点，DA∥OH，∴AD=2OH。∴OF•DE=OE•2OH。

（2）【解析】
∵⊙O的半径为12，且OE：OF：OD=2：3：6，∴OE=4，ED=8，OF=6。

代入（1）中，得AD=12。∴OH=AD=6。

在Rt△ABC中，OB=2OH，∴∠OBH=30°，∴∠BOH=60°。

∴BH=BO•sin60°=12×。

∴S阴影=S扇形GOB﹣S△OHB=。

【解析】（1）由BD是直径，根据圆周角定理，可得∠DAB=90°，又由FG⊥AB，可得FG∥AD，即可判定△FOE∽△ADE，根据相似三角形的对应边成比例，即可得，然后由O是BD的中点，DA∥OH，可得AD=2OH，则可证得OF•DE=OE•2OH。

（2）由⊙O的半径为12，且OE：OF：OD=2：3：6，即可求得OE，DE，OF的长，由，求得AD的长，又由在Rt△ABC中，OB=2OH，可求得∠BOH=60°，继而可求得BH的长，又由S阴影=S扇形GOB﹣S△OHB，即可求得答案。