Question

如图，以G(0，1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为________；点E在运动过程中，线段FG的长度的最小值为________．

Answer

2 ﹣1

【解析】

连接AC，AG，由OG垂直于AB，利用垂径定理得到O为AB的中点，由G的坐标确定出OG的长，在直角三角形AOG中，由AG与OG的长，利用勾股定理求出AO的长，进而确定出AB的长，由CG+GO求出OC的长，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的长，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半径，当点三点在同一条直线上时，线段FG的长度有最小值，根据求解即可.

连接AC，AG，

∵GO⊥AB,

∴O为AB的中点,即

∵G(0,1)，即OG=1，

∴在Rt△AOG中,根据勾股定理得：

∴

又CO=CG+GO=2+1=3，

∴在Rt△AOC中,根据勾股定理得：

∵CF⊥AE，

∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，

AC的中点为

当点三点在同一条直线上时，线段FG的长度有最小值，

故答案为：(1). 2 (2). ﹣1