Question

我们定义两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”．

(1)求抛物线y=x²﹣2x+2与x轴的“和谐值”；   

(2)求抛物线y=x²﹣2x+2与直线y=x﹣1的“和谐值”；   

(3)求抛物线y=x²﹣2x+2在抛物线y=x²+c的上方，且两条抛物线的“和谐值”为2，求c的值．

Answer

(1)1；(2)；(3)c=﹣2．

【解析】

（1）将函数配成顶点式，根据其开口向上，顶点坐标为（1,1）从而得出其顶点是其最低点，故其顶点到x轴的距离就是其和谐值，根据点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值即可得出答案；

（2）如图，P点为抛物线y=x2﹣2x+2任意一点，作PQ∥y轴交直线y=x﹣1于Q，根据抛物线上点的坐标特点，平行于y轴的直线上的点的坐标特点及直线上的坐标特点，设P(t，t2﹣2t+2)，则Q(t，t﹣1)，根据两点间的距离公式建立出关于PQ的长的函数关系式，根据所得函数的性质即可得出答案；

（3）M点为抛物线y=x2﹣2x+2任意一点，点N为抛物线y= x2+c上的点，且MN的长即是两条抛物线的“和谐值”.根据抛物线上点的坐标特点，平行于y轴的直线上的点的坐标特点，设M(t，t2﹣2t+2)，则N ( t , t2+c )，根据两点间的距离公式建立出关于MN的长的函数关系式，再配成顶点式，根据当t=2时，MN有最小值，最小值为﹣c，根据和谐值的定义即可建立方程，从而得出c的值.

(1)∵y=(x﹣1)2+1，

∴抛物线上的点到x轴的最短距离为1，

∴抛物线y=x2﹣2x+2与x轴的“和谐值”为1

(2)如图，P点为抛物线y=x2﹣2x+2任意一点，作PQ∥y轴交直线y=x﹣1于Q，

设P(t，t2﹣2t+2)，则Q(t，t﹣1)，

∴PQ=t2﹣2t+2-t+1=t2﹣3t+3=

当 时，PQ有最小值，最小值为

∴抛物线y=x2﹣2x+3与直线y=x﹣1的“和谐值”为

(3)M点为抛物线y=x2﹣2x+2任意一点，点N为抛物线y= 上的一点，MN的长即是两条抛物线的“和谐值”.

设M(t，t2﹣2t+2)，则N

∴MN=t2﹣2t+2-

当t=2时，MN有最小值，最小值为﹣c

∴抛物线y=x2﹣2x+2与抛物线 的“和谐值”为﹣c

∴﹣c=2，

∴c=﹣2．