Question

已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E．

(1)当∠BAC为锐角时，如图①，求证：∠CBE=∠BAC；

(2)当∠BAC为钝角时，如图②，CA的延长线与⊙O相交于点E，(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由．

Answer

（1）详见解析；（2）成立，理由详见解析.

【解析】

（1）连接AD，根据直径所对的圆周角是直角，得AD⊥BC，又由AB=AC，根据等腰三角形的三线合一，得AD平分∠BAC，结合圆周角定理，即可得∠BAC=2∠CBE；
（2）连接AD．根据等腰三角形的三线合一和圆内接四边形的性质，即可证明∠BAC=2∠CBE．

（1）证明：如图①连结AD

∵AB是⊙O的直径

∴AD⊥BC

∵AB=AC

∴∠CAD= ,

又∵BE⊥AC,

∴∠CAD=∠CBE,

∴∠CBE=;

（2）【解析】
成立，理由如下：如图②连结AD，

∵AB是⊙O的直径,

∴AD⊥BC,

∵AB=AC,

∴∠CAD=,

∵∠CAD+∠EAD=180°，∠CBE+∠EAD=180°,

∠CAD=∠CBE,

∴∠CBE=.