Question

对于二次函数y=x²-3x+2和一次函数y=-2x+4，把y=t(x²-3x+2)+(1-t)(-2x+4)称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线L．现有点A(2，0)和抛物线L上的点B(－1，n)，请完成下列任务：

(1)（尝试）

当t=2时，抛物线y=t(x²-3x+2)+(1-t)(-2x+4)的顶点坐标为________；

(2)判断点A是否在抛物线L上；   

(3)求n的值．   

(4)（发现）

通过(2)和(3)的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线L总过定点，坐标为________．

(5)（应用）

二次函数y=-3x²+5x+2是二次函数y=x²3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．

Answer

（1）（1，﹣2）；（2）点A（2，0）在抛物线E上；（3）n=6；（4）抛物线E必过定点（2，0）、（﹣1，6）；（5）满足条件的所有t的值为：﹣，，﹣，

【解析】

试题

1、【尝试】（1）将t=2代入抛物线L中，化简，再配方，即可得到抛物线L的顶点坐标；

（2）将点A的横坐标x=2代入抛物线L的解析式中进行计算看y是否等于0，即可判断出点A是否在抛物线L上；

（3）将点B的横坐标x=-1代入抛物线L的解析式中计算出对应的y的值即可得到n的值；

2、【发现】将抛物线L的解析式展开可得： y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=t（x﹣2）（x+1）﹣2x+4，由此可得：当x=2时，y=0；当x=-1时，y=6；这就说明抛物线L总过定点A（2，0）和B（-1，6）；

3、【应用】由【发现】可知，二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4的“再生二次函数”必过点（2，0）和点（-1，6），因此检验这两个点是否都在二次函数y=﹣3x2+5x+2的图象上即可作出判断.

试题解析：

1、【尝试】

（1）∵将t=2代入抛物线l中，得：y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=2x2﹣4x=2（x﹣1）2﹣2，

∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，﹣2）．

（2）∵将x=2代入y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得 y=0，

∴点A（2，0）在抛物线l上．

（3）将x=﹣1代入抛物线l的解析式中，得：

n=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=6．

2、【发现】

∵将抛物线E的解析式展开，得：

y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=t（x﹣2）（x+1）﹣2x+4

∴抛物线l必过定点A（2，0）、B（﹣1，6）．

3、【应用】

将x=2代入y=﹣3x2+5x+2，y=0，即点A在抛物线上．

将x=﹣1代入y=﹣3x2+5x+2，计算得：y=﹣6≠6，即抛物线y=﹣3x2+5x+2不经过点B，

∴二次函数y=﹣3x2+5x+2不是二次函数y=x2﹣3x+2和一次函数y=﹣2x+4的一个“再生二次函数”．