Question

如图，将一个直角三角板中30°的锐角顶点与另一个直角三角板的直角顶点叠放一起.（注：∠ACB与∠DEC是直角，∠A=45°，∠DEC=30°）.

（1）如图①，若点C、B、D在一条直线上，求∠ACE的度数；

（2）如图②，将直角三角板CDE绕点c逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分∠DCE，求∠BCD的度数；

（3）如图③若∠DEC始终在∠ACB的内部，分别作射线CM平分∠BCD,射线CN平分∠ACE.如果三角板DCE在∠ACB内绕点C任意转动，∠MCN的度数是否发生变化？如果不变，求出它的度数，如果变化，说明理由。

Answer

（1）60°；（2）75°；（3）不变，60°

【解析】

（1）利用∠ACE=∠BCA-∠DCE进行计算；

（2）先由CA恰好平分∠DCE得到∠DCA=∠DCE=15°，然后根据∠BCD=∠BCA-∠DCA进行计算；

（3）先根据CM平分∠BCD，CN平分∠ACE得到∠ECN=∠ACE，∠DCM=∠BCD，则∠ECN+∠DCM=（∠BCA-∠DCE），所以∠MCN=∠ECN+∠DCM+∠DCE=（∠BCA+∠DCE），然后把∠BCA=90°，∠DCE=30°代入计算即可．

【解析】
（1）∵∠BCA=90°，∠DCE=30°，

∴∠ACE=∠BCA-∠DCE=60°；

（2）∵CA恰好平分∠DCE，

∴∠DCA=∠DCE=×30°=15°，

∴∠BCD=∠BCA-∠DCA=90°-15°=75°；

（3）∠MCN的度数不发生变化，∠MCN=60°．理由如下：

∵CM平分∠BCD，CN平分∠ACE，

∴∠ECN=∠ACE，∠DCM=∠BCD，

∴∠ECN+∠DCM=（∠ACE+∠BCD）=（∠BCA-∠DCE），

∴∠MCN=∠ECN+∠DCM+∠DCE

=（∠BCA+∠DCE）=×（90°+30°）=60°．