Question

如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，边BC是⊙O的切线，切点为D，AB经过圆心O并与圆相交于点E，连接AD．

（1）求证：AD平分∠BAC；

（2）若AC=8，tan∠DAC=，求⊙O的半径．

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】试题(1)、连接OD，根据切线的性质以及∠C的度数得出OD∥AC，从而的得出∠CAD=∠ADO，然后根据OA=OD得出∠OAD=∠ADO，从而说明角平分线；(2)、首先根据韦达定理求出AD的长度，连接DE，根据题意得出△ACD和△ADE相似，从而得出AE的长度，然后得出圆的半径.

试题解析：（1）连接OD， ∵BC是⊙O的切线， ∴OD⊥BC ∴∠ODB=90°

又∵∠C=90° ∴AC∥OD ∴∠CAD=∠ADO 又∵OA=OD ∴∠OAD=∠ADO

∴∠CAD=∠OAD ∴ AD平分∠BAC

（2）在Rt△ACD中 AD=

连接DE， ∵AE为⊙O的直径 ∴∠ADE=90° ∴∠ADE=∠C ∵∠CAD=∠OAD

∴△ACD∽△ADE ∴， 即 ∴AE= ∴⊙O的半径是