Question

如图，直线AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点M，N，ME，NE分别是∠AMN与∠CNM的平分线，NE交AB于点F，过点N作NG⊥EN交AB于点G．

（1）求证：EM∥NG；

（2）连接EG，在GN上取一点H，使∠HEG=∠HGE，作∠FEH的平分线EP交AB于点P，求∠PEG的度数．

Answer

(1)证明见解析；（2）45°.

【解析】

（1）根据平行线的性质以及角平分线得到定义，即可得出∠MEN=90°，再根据NG⊥EN，即可得到∠MEN+∠ENH=180°，进而得到EM∥NG；
（2）先设∠HEG=x，则∠HGE=∠MEG=x，∠NEH=90°-2x，根据EP平分∠FEH，可得∠FEH=2（∠PEG+x），再根据∠FEH+∠HEN=180°，可得方程2（∠PEG+x）+90°-2x=180°，进而解得∠PEG．

【解析】
（1）∵AB∥CD，

∴∠AMN+∠CNM=180°，

∵ME，NE分别是∠AMN与∠CNM的平分线，

∴∠EMN= ∠AMN，∠ENM=∠MNC，

∴∠EMN+∠ENM=90°，即∠MEN=90°，

又∵NG⊥EN，

∴∠MEN+∠ENH=180°，

∴EM∥NG；

（2）设∠HEG=x，则∠HGE=∠MEG=x，∠NEH=90°﹣2x，

∵EP平分∠FEH，

∴∠FEH=2∠PEH=2（∠PEG+x），

又∵∠FEH+∠HEN=180°，

∴2（∠PEG+x）+90°﹣2x=180°，

解得∠PEG=45°．