Question

已知△ABC是等边三角形，将一块含有30°角的直角三角尺DEF按如图所示放置，让三角尺在BC所在的直线上向右平移．如图①，当点E与点B重合时，点A恰好落在三角尺的斜边DF上．

(1)利用图①证明：EF＝2BC.

(2)在三角尺的平移过程中，在图②中线段AH＝BE是否始终成立(假定AB，AC与三角尺的斜边的交点分别为G，H)？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

Answer

（1）详见解析；（2）成立，证明见解析．

【解析】

（1）根据等边三角形的性质，得∠ACB=60°，AC=BC．结合三角形外角的性质，得∠CAF=30°，则CF=AC，从而证明结论；

（2）根据（1）中的证明方法，得到CH=CF．根据（1）中的结论，知BE+CF=AC，从而证明结论．

（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC．

∵∠F=30°，∴∠CAF=60°－30°=30°，∴∠CAF=∠F，∴CF=AC，∴CF=AC=BC，∴EF=2BC．

（2）成立．证明如下：

∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC．

∵∠F=30°，∴∠CHF=60°－30°=30°，∴∠CHF=∠F，∴CH=CF．

∵EF=2BC，∴BE＋CF=BC．

又∵AH＋CH=AC，AC=BC，∴AH=BE．