Question

如图，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，以此类推，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S₁，S₂，S₃，…，S₁₀，则S₁+S₂+S₃+…+S₁₀=（   ）

A. 4π    B. 3π    C. 2π    D. π

Answer

D

【解析】

图1，作辅助线构建正方形OECF，设圆O的半径为r，根据切线长定理表示出AD和BD的长，利用AD+BD=5列方程求出半径r=（a、b是直角边，c为斜边），运用圆面积公式=πr2求出面积=π；图2，先求斜边上的高CD的长，再由勾股定理求出AD和BD，利用半径r=（a、b是直角边，c为斜边）求两个圆的半径，从而求出两圆的面积和=π；图3，继续求高DM和CM、BM，利用半径r=（a、b是直角边，c为斜边）求三个圆的半径，从而求出三个圆的面积和.

【解析】
（1）图1，过点O做OE⊥AC，OF⊥BC，垂足为E、F，则∠OEC=∠OFC=90°

∵∠C=90°

∴四边形OECF为矩形

∵OE=OF

∴矩形OECF为正方形

设圆O的半径为r，则OE=OF=r，AD=AE=3-r，BD=4-r

∴3-r+4-r=5，r=1

∴S1=π×12=π

（2）图2，由S△ABC=×3×4=×5×CD

∴CD=

由勾股定理得：AD=，BD=5-=

由（1）得：⊙O的半径=，⊙E的半径=

∴S1+S2=π×（）2+π×（）2=π

（3）图3，由S△CDB=××=×4×MD

∴MD=

由勾股定理得：CM=，MB=4-=

由（1）得：⊙O的半径，：⊙E的半径=：⊙F的半径=

∴S1+S2+S3=π×（）2+π×（）2+π×（）2=π

∴图4中的S1+S2+S3+S4=π

则S1+S2+S3+…+S10=π

故选：D．