Question

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于点D，AD交⊙O于F，FM⊥AB于H，分别交⊙O、AC于M、N，连接MB，BC．

（1）求证：AC平分∠DAE；

（2）若cosM=，BE=1，①求⊙O的半径；②求FN的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）①⊙O的半径为4；②FN=．

【解析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得OC⊥DE，则判断OC∥AD得到∠1=∠3，加上∠2=∠3，从而得到∠1=∠2；

（2）①利用圆周角定理和垂径定理得到，则∠COE=∠FAB，所以∠FAB=∠M=∠COE，设⊙O的半径为r，然后在Rt△OCE中利用余弦的定义得到，从而解方程求出r即可；

②连接BF，如图，先在Rt△AFB中利用余弦定义计算出AF=，再计算出OC=3，接着证明△AFN∽△AEC，然后利用相似比可计算出FN的长．

（1）连接OC，如图，

∵直线DE与⊙O相切于点C，

∴OC⊥DE，

又∵AD⊥DE，

∴OC∥AD．

∴∠1=∠3

∵OA=OC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠2，

∴AC平方∠DAE；

（2）①∵AB为直径，

∴∠AFB=90°，

而DE⊥AD，

∴BF∥DE，

∴OC⊥BF，

∴，

∴∠COE=∠FAB，

而∠FAB=∠M，

∴∠COE=∠M，

设⊙O的半径为r，

在Rt△OCE中，cos∠COE=，即，解得r=4，

即⊙O的半径为4；

②连接BF，如图，

在Rt△AFB中，cos∠FAB=，

∴AF=8×，

在Rt△OCE中，OE=5，OC=4，

∴CE=3，

∵AB⊥FM，

∴，

∴∠5=∠4，

∵FB∥DE，

∴∠5=∠E=∠4，

∵，

∴∠1=∠2，

∴△AFN∽△AEC，

∴，即，

∴FN=．