Question

如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x²+2x+1与y轴交于点C，点E在抛物线y=﹣x²+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（　 　）

A. 1.4    B. 2.5    C. 2.8    D. 3

Answer

C

【解析】分析:由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得直线解析式；过P作PH⊥AB于点H，过H作HQ⊥x轴，过P作PQ⊥y轴，两垂线交于点Q，则可证明△PHQ∽△BAO，设H（m， m+3），利用相似三角形的性质可得到d与x的函数关系式，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE=C′E，则可知当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，由C点坐标可确定出C′点的坐标，利用所求函数关系式可求得d的值，即可求得CE+EF的最小值．

详解: (1)由题意可得

,解得，

∴直线解析式为y=x+3；

过P作PH⊥AB于点H，过H作HQ⊥x轴，过P作PQ⊥y轴，两垂线交于点Q，

则∠AHQ=∠ABO,且∠AHP=90°，

∴∠PHQ+∠AHQ=∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠PHQ=∠BAO,且∠AOB=∠PQH=90°，

∴△PQH∽△BOA，

∴，

设H(m, m+3),则PQ=x−m,HQ=m+3−(−x²+2x+1)，

∵A(−4,0),B(0,3)，

∴OA=4，OB=3，AB=5，且PH=d，

∴

整理消去m可得d=，

∴d与x的函数关系式为d=，

设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′,由对称的性质可得CE=C′E，

∴CE+EF=C′E+EF，

∴当F. E. C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，

∵C(0,1)，

∴C′(2,1)，

由(2)可知当x=2时,d==2.8，

即CE+EF的最小值为2.8.