Question

如图，将一张正方形纸片的4个角剪去4个大小一样的小正方形，然后折起来就可以制成一个无盖的长方体纸盒，设这个正方形纸片的边长为a，这个无盖的长方体盒子高为h．

（1）若a=18cm，h=4cm，则这个无盖长方体盒子的底面面积为                                 ；

（2）用含a和h的代数式表示这个无盖长方体盒子的容积V=​                                ；

（3）若a=18cm，试探究：当h越大，无盖长方体盒子的容积V就越大吗？请举例说明；这个无盖长方体盒子的最大容积是​                                ​．

Answer

（1）100cm2；（2）h（a﹣2h）2cm3；（3）432cm3 ．

【解析】

(1)根据已知得出长方体底面的边长进而求出即可；

(2)由于原来正方形的边长为a，如果四个角上各剪去一个同样大小的正方形，那么无盖长方体的底面的长宽分别都是(a-2h)，高是h，由此即可表示这个无盖长方体的容积；

(3)根据材料一定，长方体中体积最大与底面各积和高都有关进行解答即可.

(1)∵a=18cm，h=4cm，

∴这个无盖长方体盒子的底面面积为：(a﹣2h)(a﹣2h)=(18﹣2×4)×(18﹣2×4)=100(cm2)，

故答案为：100cm2；

(2)这个无盖长方体盒子的容积V=h(a﹣2h)(a﹣2h)=h(a﹣2h)2(cm3)，

故答案为：h(a﹣2h)2cm3；

(3)若a=18cm，当h越大，无盖长方体盒子的容积V不一定就越大，

如h=6时，体积V=216，h=8时，体积V=32；

∵V=h(18﹣2h)2

=4(9-h)(9-h)h

=2(9-h)(9-h)2h

9-h+9-h+2h=0，

∴当9-h=2h时，体积最大，

即h=3时，此时体积最大，

∴这个无盖长方体盒子的最大容积是：3×(18﹣6)2=432(cm3)，

故答案为：432cm3 ．