Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC且AD²＝BD•CD．

（1）求证：∠BAC＝90°；

（2）若BD＝2，AC＝，求CD的长．

Answer

（1）详见解析；（2）DC＝4．

【解析】

（1）根据已知条件得到△ABD∽△CAD，根据相似三角形的性质得到∠BAD＝∠C，于是得到结论；

（2）根据相似三角形的性质即可得到结论．

（1）证明：∵AD2＝BD•CD，

∴，

∵∠BDA＝∠ADC＝90°，

∴△ABD∽△CAD，

∴∠BAD＝∠C，

∵∠DAC+∠C＝90°，

∴∠DAC+∠BAD＝90°，

∴∠BAC＝90°；

（2）∵∠BAC＝∠ADC＝90°，

∠C＝∠C，

∴△BAC∽△ADC，

∴，

∴AC2＝BC•CD，

∴（2+DC）•DC＝24，

∴DC＝4．