Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以边AB为直径作⊙O，交斜边BC于D，E在弧上，连接AE、ED、DA，连接AE、ED、DA．

（1）求证：∠DAC＝∠AED；

（2）若点E是的中点，AE与BC交于点F，当BD＝5，CD＝4时，求DF的长．

Answer

（1）详见解析；（2）DF＝2．

【解析】

（1）根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据余角的性质和圆周角定理即可得到结论；

（2）根据等腰三角形的性质得到CA＝CF，根据相似三角形的性质即可得到结论．

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC，

∵∠BAC＝90°，

∴∠CAD+∠BAD＝∠BAD+∠B＝90°，

∴∠CAD＝∠B，

∵∠E＝∠ABD，

∴∠DAC＝∠AED；

（2）∵点E是的中点，

∴∠BAE＝∠EAD，

∵∠CFA＝∠ABC+∠BAE，∠CAE＝∠CDA+∠EAD，

∴∠CFA＝∠CAE，

∴CA＝CF，

∵∠BAC＝∠ADB＝90°，

∴∠ACD＝∠BCA，

∴△ADC∽△BAC，

∴，

即AC2＝BC×CD＝（5+4）×4＝36，

解得AC＝6，

∴CA＝CF＝6，

∴DF＝CA﹣CD＝2．