Question

如图，已知点A（1，0），B（0，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，设E为AD的中点．

（1）若F为CD上一动点，求出当△DEF与△COD相似时点F的坐标；

（2）过E作x轴的垂线l，在直线l上是否存在一点Q，使∠CQO＝∠CDO？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）F（﹣1，）或F（﹣，）；（2）Q（﹣1，2）或（﹣1，﹣1）．

【解析】

（1）当△DEF∽△COD时，，DF＝DEcos∠CDO＝，据此求出EF的长度和点F的坐标即可；

（2）首先以CD为直径作圆，设其圆心为P，交直线a于点Q、Q′，连接PQ，P Q′，由圆周角定理，可得∠CQO＝∠CQ′O＝∠CDO，在Rt△CDO中，由勾股定理可得CD＝，则PQ＝CD＝；然后求出点P的坐标是多少；设Q（﹣1，a），则（）2+（a﹣）2＝，据此求出a的值是多少，进而求出Q点坐标是多少即可．

（1）∵A（1，0），B（0，3），

∴OA＝1，OB＝3，

∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，

∴OC＝1，OD＝3，

∴C（0，1），D（﹣3，0），

如图1，当△DEF∽△COD时，，

∴EF＝，

∴F（﹣1，）；

当△DEF∽△COD时，DF＝DEcos∠CDO＝，

作FK⊥OD于K，

则FK＝DFsin∠CDO＝，DK＝DFcos∠CDO＝，

∴F（﹣，）；

（2）如图2，以CD为直径作圆，设其圆心为P，交直线a于点Q、Q′，连接PQ，P Q′，

由圆周角定理，

可得∠CQO＝∠CQ′O＝∠CDO，

在Rt△CDO中，由勾股定理可得CD＝，

则PQ＝CD＝，

又∵P为CD中点，P（﹣，），

设Q（﹣1，a），

则（）2+（a﹣）2＝，

解得a＝2或﹣1，

∴Q（﹣1，2）或（﹣1，﹣1）．