Question

如图，△ABC中，AB=AC，△ABD和△ACE分别是以AB、AC为斜边的等腰直角三角形，BE、CD相交于点F.求证：AF⊥BC.

Answer

见解析

【解析】

先证明△ABD≌△ACE，从而有DB=CE，接着证明△DBC≌△ECB，从而∠DCB=∠EBC，所以FB=FC，所以F在BC的垂直平分线上，另A点在BC垂直平分线上，所以AF⊥BC.

证：在△ABD和△ACE中，

∵AB=AC，∠ABD=∠ACE，DB=EC，

∴△ABD≌△ACE.

∴DB=EC.

在△DBC和△ECB中，

∵DB=EC，∠DBC=∠ECB，BC=CB，

∴△DBC≌△ECB.

∴∠DCB=∠EBC，

∴FB=FC.

∴F在BC的垂直平分线上.

又∵另A点在BC垂直平分线上，

∴AF⊥BC.