Question

如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC=4，AB=1，点P是线段BC（不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．

(1)如图1，若BP=3，求△ABP的周长；

(2)如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由；

(3)若△PDC是等腰三角形，作点B关于AP的对称点B′，连结B′D，则B′D=_____．（请直接写出答案）

Answer

（1）+5；（2）PB=PC；（3）5

【解析】

试题（1）根据勾股定理直接求出AP的值就可以求出结论；

（2）延长线段AP、DC交于点E，就可以得出△DPA≌△DPE，就有AP=PE，在证明△APB≌△EPC就可以得出结论；

（3）连接AB′，PB′，作B′E⊥CD于E，就可以得出PB′=CE=1，DE=2，在Rt△B′DE中由勾股定理就可以求出结论．

试题解析：（1）∵AB⊥BC∴∠ABP=90°，

∴AP2=AB2+BP2，

∴AP＝=＝，

∴AP+AB+BP=+1+4=+5

∴△APB的周长为+5；

（2）PB=PC，

理由如下：

延长线段AP、DC交于点E

∵DP平分∠ADC，

∴∠ADP=∠EDP．

∵DP⊥AP，

∴∠DPA=∠DPE=Rt∠．

在△DPA和△DPE中

，

∴△DPA≌△DPE（ASA），

∴PA=PE．

∵AB⊥BP，CM⊥CP，

∴∠ABP=∠ECP=Rt∠．

在△APB和△EPC中

，

∴△APB≌△EPC（AAS），

∴PB=PC；

（3）答案为：5．