Question

已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180°，

求证：AE=AD+BE．

Answer

证明见解析.

【解析】

首先在AE上截取AM=AD，连接CM，再证明△AMC≌△ADC，可得∠3=∠D，再根据∠B+∠D=180°，∠3+∠4=180°，可以证出∠4=∠B，根据等角对等边可证出CM=BC，再根据等腰三角形的性质：等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合可得到ME-BE，再利用等量代换可证出AE=AD+BE．

证明：在AE上截取AM=AD，连接CM，

∵AC平分∠BAD，

∴∠1=∠2，

在△AMC和△ADC中，

∴△AMC≌△ADC（SAS），

∴∠3=∠D，

∵∠B+∠D=180°，∠3+∠4=180°，

∴∠4=∠B，

∴CM=CB，

∵CE⊥AB，

∴ME=EB（等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合），

∵AE=AM+ME，

∴AE=AD+BE．